Python 量化统计基础

统计是量化策略的内功：收益率的分布形态决定风险模型怎么建，平稳性决定哪些方法可用，协整决定配对交易能不能做。

本篇用真实数据回答三个问题：收益率服从正态分布吗？价格序列平稳吗？什么样的两只股票才能做配对？

收益率服从正态分布吗

很多经典模型（如马科维茨组合理论）建立在"收益率服从正态分布"的假设上，这个假设值得先检验。

用茅台 2019-2024 的日收益率计算三大特征值：

实例

import yfinance as yf
from scipy import stats

close = yf.download("600519.SS", start="2019-01-01", end="2024-12-31",
                    progress=False, multi_level_index=False)["Close"]
ret = close.pct_change().dropna()

print(f"样本数 {len(ret)} | 均值 {ret.mean():.4%} | 标准差 {ret.std():.4%}")
print(f"偏度 {ret.skew():.4f} | 峰度 {ret.kurtosis():.4f}（正态分布两者均为 0）")

# Jarque-Bera 正态性检验
jb, pvalue = stats.jarque_bera(ret)
print(f"Jarque-Bera 统计量 {jb:.1f}，p 值 {pvalue:.2e}")

输出结果如下所示：

样本数 1452 | 均值 0.0901% | 标准差 1.8671%
偏度 0.3425 | 峰度 2.7022（正态分布两者均为 0）
Jarque-Bera 统计量 465.7，p 值 7.41e-102

三个证据都指向同一个结论：

指标 实际值 正态分布要求 解读
偏度 0.3425 0 分布轻微右偏
峰度 2.7022 0 显著的"尖峰肥尾"
Jarque-Bera p 值 7.41e-102 大于 0.05 强烈拒绝正态假设

"尖峰肥尾"的直观含义：大部分日子波动不大（尖峰），但极端日子的出现频率远高于正态假设（肥尾）。

把收益率直方图与同均值同标准差的正态曲线叠加，肥尾清晰可见：

实例

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.hist(ret, bins=80, density=True, alpha=0.55,
         color="#14805e", label="Daily Returns")

# 同均值、同标准差的正态密度曲线
xs = np.linspace(ret.min(), ret.max(), 400)
plt.plot(xs, stats.norm.pdf(xs, ret.mean(), ret.std()),
         color="#1f2933", linewidth=1.8, linestyle="--",
         label="Normal Distribution")
plt.title("Maotai Daily Returns vs Normal Distribution (2019-2024)")
plt.xlabel("Daily Return")
plt.ylabel("Density")
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.25)
plt.show()

执行以上代码，输出的图表如下：

收益率分布直方图与正态曲线

图形中间高出正态曲线一截，两侧极端值也明显更多。这就是为什么风险管理不能只看标准差，最大回撤这类"尾部指标"必须单独计算。

平稳性：时间序列的地基

平稳序列的统计性质（均值、方差）不随时间变化；非平稳序列的均值在漂移，"平均值"这个概念对它意义有限。

用 ADF 检验（Augmented Dickey-Fuller）判断平稳性，零假设是"序列非平稳"：

实例

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 分别检验价格序列与收益率序列
for name, series in [("价格", close), ("收益率", ret)]:
    stat, pvalue, *_ = adfuller(series.dropna())
    verdict = "平稳" if pvalue < 0.05 else "非平稳"
    print(f"{name}序列: ADF 统计量 {stat:.4f}, p 值 {pvalue:.4f} -> {verdict}")

输出结果如下所示：

价格序列: ADF 统计量 -2.6077, p 值 0.0914 -> 非平稳
收益率序列: ADF 统计量 -25.5904, p 值 0.00e+00 -> 平稳

结论是金融时间序列的经典事实：价格非平稳，收益率平稳。

这解释了为什么所有模型都建立在收益率而不是价格上：对非平稳序列做回归和均值估计会得到大量虚假结果。

直觉理解：茅台价格从 1000 元涨到 1500 元，"均值 1250 元"没有任何预测意义；但"日收益率平均 0.09%、波动 1.87%"则是相对稳定的特征。建模要建立在稳定的特征上。

相关性的局限

第 7 篇用相关性热力图比较过白酒三兄弟，皮尔逊相关系数高就代表可以做交易了吗？不够。

相关性有两个致命局限：

一是相关性只衡量"同涨同跌的幅度"，不保证两者的差稳定——两只股票同涨同跌，但差距可以越拉越远，永远不回归。

二是相关性会漂移，牛市里高度相关的资产，危机中可能瞬间脱钩。

要判断"两者差距会不会回归"，需要比相关性更强的工具——协整。

协整：配对交易的地基

协整（Cointegration）回答的问题是：两个各自非平稳的序列，它们的线性组合（价差）是否平稳。

如果价差平稳，就意味着价差涨高了会跌回来、跌深了会涨回去——这正是配对交易赚钱的来源：卖高买低，等价差回归。

statsmodels 的 coint 函数直接做协整检验，零假设是"不存在协整关系"。对同行业候选配对做一轮扫描：

实例

from statsmodels.tsa.stattools import coint
import yfinance as yf

candidates = [
    ("五粮液", "泸州老窖", "000858.SZ", "000568.SZ"),
    ("工商银行", "招商银行", "601398.SS", "600036.SS"),
    ("美的集团", "格力电器", "000333.SZ", "000651.SZ"),
    ("贵州茅台", "五粮液", "600519.SS", "000858.SZ"),
]

for n1, n2, c1, c2 in candidates:
    px = yf.download([c1, c2], start="2022-01-01", end="2024-12-31",
                     progress=False, multi_level_index=False)["Close"]
    x, y = px[c1].dropna(), px[c2].dropna()
    idx = x.index.intersection(y.index)
    t, p, _ = coint(x.loc[idx], y.loc[idx])
    verdict = "通过" if p < 0.05 else "未通过"
    print(f"{n1} vs {n2}: p = {p:.4f} {verdict}")

输出结果如下所示：

五粮液 vs 泸州老窖: p = 0.2166 未通过
工商银行 vs 招商银行: p = 1.0000 未通过
美的集团 vs 格力电器: p = 0.0617 未通过
贵州茅台 vs 五粮液: p = 0.2300 未通过

用同样的方法扫描石油石化（中国石油 vs 中国石化 p=0.4855）、保险（中国平安 vs 中国人寿 p=0.1590）、电信运营商（中国移动 vs 中国电信 p=0.3953）等行业，七对候选无一通过 5% 显著性检验。

这个"全军覆没"的结果非常有教育意义：

常见误解 事实
同行业股票就能做配对 七对同行业候选无一通过检验
相关性高等于协整 这些股票对相关性都在 0.7 以上，依然不协整
协整关系一劳永逸 即使历史上通过，结构变化也可能让它失效

七对中美的集团与格力电器最接近（p=0.0617），作为下一篇配对交易的教学演示案例——但它未达 5% 显著水平，这一点会贯穿下一篇的结论。

对冲比率与价差

协整检验之外，配对交易还需要估计对冲比率：一股美的对应多少股格力。最简单的方法是线性回归斜率：

实例

import numpy as np
import yfinance as yf

px = yf.download(["000333.SZ", "000651.SZ"], start="2022-01-01",
                 end="2024-12-31", progress=False,
                 multi_level_index=False)["Close"]

# 只用 2022 年数据估计，避免用到未来的信息
a = px["000333.SZ"].loc["2022"]    # 美的
b = px["000651.SZ"].loc["2022"]    # 格力

beta = np.polyfit(b, a, 1)[0]
print(f"对冲比率 beta = {beta:.4f}")

# 价差 = 美的价格 - beta x 格力价格
spread = px["000333.SZ"] - beta * px["000651.SZ"]
print("价差末 3 日:")
print(spread.tail(3).round(2).to_string())

输出结果如下所示：

对冲比率 beta = 2.8141
价差末 3 日:
Date
2024-12-26     9.06
2024-12-27     9.05
2024-12-30     8.29

含义是：做多 1 股美的的同时做空 2.81 股格力，这个组合的价值就是价差。下一篇会围绕这个价差构造完整的交易规则。