Python 投资组合理论

"不要把鸡蛋放在同一个篮子里"人人会说，但篮子怎么选、鸡蛋怎么分，是有严谨数学的。

本篇用三只真实的 A 股（贵州茅台、工商银行、宁德时代），完整走一遍马科维茨组合理论：随机组合散点、最大夏普组合、CAPM Beta 与风险平价。

分散化的数学本质

先看三只股票 2019-2024 的年化收益与波动（由日收益率计算）：

实例

import yfinance as yf
import pandas as pd
import numpy as np

# 三只不同行业的 A 股：消费、银行、新能源
symbols = ["600519.SS", "601398.SS", "300750.SZ"]
names = ["贵州茅台", "工商银行", "宁德时代"]

prices = yf.download(symbols, start="2019-01-01", end="2024-12-31",
                     progress=False, multi_level_index=False)["Close"]
daily_ret = prices.pct_change().dropna()

# 年化收益（几何复利）与年化波动
mu_ann = (1 + daily_ret).prod() ** (252 / len(daily_ret)) - 1
vol_ann = daily_ret.std() * np.sqrt(252)
print(pd.DataFrame({"年化收益": mu_ann, "年化波动": vol_ann},
                   index=names).round(4).to_string())

输出结果如下所示：

          年化收益    年化波动
贵州茅台   0.2012   0.2964
工商银行   0.1127   0.1605
宁德时代   0.3944   0.4611

三只股票风险收益特征迥异：宁德时代收益最高波动也最大，工商银行收益最低但最稳。

分散化的魔法藏在协方差矩阵里：组合的波动不只取决于各资产的波动，更取决于它们的相关性。

实例

# 年化协方差矩阵：组合波动的计算原料
cov_ann = daily_ret.cov() * 252
print(cov_ann.round(4).to_string())

输出结果如下所示：

          600519.SS  601398.SS  300750.SZ
600519.SS     0.0878     0.0094     0.0498
601398.SS     0.0094     0.0258     0.0013
300750.SZ     0.0498     0.0013     0.2126

注意非对角元素（协方差）远小于对角元素（方差）——三只股票两两相关性不高。组合波动公式中这些"交叉项"会被部分抵消，这就是分散化降低风险的来源。

有效前沿：5000 组随机组合

给定一组权重 w，组合的年化收益与波动可以直接算出。用 5000 组随机权重扫描"风险-收益"平面：

实例

rng = np.random.default_rng(42)
weights = rng.dirichlet(np.ones(3), 5000)      # 5000 组随机权重，每组和为 1

# 组合收益：权重点乘各资产收益
port_ret = weights @ mu_ann.values
# 组合波动：w^T x 协方差 x w 的平方根
port_vol = np.sqrt(np.einsum("ij,jk,ik->i", weights, cov_ann.values, weights))
sharpe = (port_ret - 0.03) / port_vol          # 无风险利率取 3%

best = sharpe.argmax()
print(f"随机组合中最大夏普: {sharpe[best]:.3f}")
print("最大夏普组合权重:")
print(pd.Series(weights[best], index=names).round(4).to_string())

输出结果如下所示：

随机组合中最大夏普: 0.960
最大夏普组合权重:
贵州茅台    0.1539
工商银行    0.5546
宁德时代    0.2915

把 5000 个点画出来，就是教科书上的"子弹头"图形：

实例

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7))
sc = ax.scatter(port_vol, port_ret, c=sharpe, cmap="viridis",
                s=6, alpha=0.6)
plt.colorbar(sc, ax=ax, label="Sharpe Ratio")
ax.scatter(port_vol[best], port_ret[best], marker="*", s=420,
           color="#c0563f", zorder=3, label="Max Sharpe Portfolio")
for i, name in enumerate(names):
    ax.scatter(vol_ann.iloc[i], mu_ann.iloc[i], marker="o",
               s=90, color="#1f2933", zorder=3)
    ax.annotate(name, (vol_ann.iloc[i], mu_ann.iloc[i]),
                xytext=(8, 6), textcoords="offset points", fontsize=11)
ax.set_title("5000 Random Portfolios: Risk vs Return (2019-2024)")
ax.set_xlabel("Annualized Volatility")
ax.set_ylabel("Annualized Return")
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.25)
plt.show()

执行以上代码，输出的图表如下：

随机组合风险收益散点与有效前沿

图形揭示三个重要事实：

观察 含义
所有散点都在单个资产左侧 组合可以做到比任何成分股波动更低——分散化有效
散点构成"子弹头"左边界 这条边界就是有效前沿，同等风险下收益最高的组合集合
最大夏普组合夏普 0.960 高于任一单资产（茅台 0.578、工行 0.515、宁德 0.790）

最大夏普组合只持 15% 茅台、55% 工行——收益最高的宁德时代只占 29%。因为工行与另外两只相关性极低（协方差 0.0094 与 0.0013），它是最好的"分散器"。

提醒：随机搜索只是演示原理，工程上用 scipy.optimize 最小化负夏普求解。此外历史协方差不稳定，有效前沿会随时间移动，别把它当永久的地图。

CAPM：给股票的"市场敏感度"打分

资本资产定价模型（CAPM）把资产收益拆成两部分：跟随市场的 Beta 与超额的 Alpha。

Beta 的估计就是个股收益对市场收益的回归斜率。用跟踪沪深300 的 ETF（510300.SS）做市场代理：

实例

# 沪深300ETF 作为市场基准代理
bench = yf.download("510300.SS", start="2019-01-01", end="2024-12-31",
                    progress=False, multi_level_index=False)["Close"]
mkt_ret = bench.pct_change().dropna()

for sym, name in zip(symbols, names):
    r = daily_ret[sym]
    common = r.index.intersection(mkt_ret.index)
    beta = np.polyfit(mkt_ret.loc[common], r.loc[common], 1)[0]
    print(f"{name}: Beta = {beta:.3f}")

输出结果如下所示：

贵州茅台: Beta = 1.008
工商银行: Beta = 0.302
宁德时代: Beta = 1.301
Beta 区间 含义
Beta = 1 与市场同步波动
Beta > 1 市场涨 10% 它涨更多，进攻型
Beta < 1 波动小于市场，防御型
Beta < 0 与市场反向，罕见

工行 Beta 只有 0.302——大盘跌 10% 它平均只跌 3%，正是它成为优秀分散器的原因，与有效前沿的发现互相印证。

风险平价：让每种资产贡献相同的风险

等权组合看似公平，实际上高波动资产贡献了大部分风险。风险平价（Risk Parity）按波动率倒数分配权重，让每类资产的风险贡献接近：

实例

# 反波动率加权：波动越大权重越小（风险平价的简化版）
inv_vol = 1 / vol_ann
rp_weights = inv_vol / inv_vol.sum()
print(pd.Series(rp_weights.values, index=names).round(4).to_string())

输出结果如下所示：

贵州茅台    0.2866
工商银行    0.5292
宁德时代    0.1842

宁德时代波动最大，权重被压到最低的 18%；工行最稳，占 53%。

方案 权重逻辑 适合谁
等权 各 1/3 最简单，但风险被高波动资产主导
市值加权 按市值分配 指数基金的做法
反波动率 波动倒数 追求均衡风险贡献
最大夏普 优化求解 收益导向，但对参数敏感

注意：以上全部基于 2019-2024 历史数据。收益与相关性都会漂移，历史最优组合不等于未来最优组合——这个主题在参数优化一篇会系统性展开。