并查集快速合并

对于一组数据,并查集主要支持两个动作:

  • union(p,q) - 将 p 和 q 两个元素连接起来。

  • find(p) - 查询 p 元素在哪个集合中。

  • isConnected(p,q) - 查看 p 和 q 两个元素是否相连接在一起。

在上一小节中,我们用 id 数组的形式表示并查集,实际操作过程中查找的时间复杂度为 O(1),但连接效率并不高。

本小节,我们将用另外一种方式实现并查集。把每一个元素,看做是一个节点并且指向自己的父节点,根节点指向自己。如下图所示,节点 3 指向节点 2,代表 3 和 2 是连接在一起的,节点2本身是根节点,所以指向自己。

同样用数组表示并查集,但是下面一组元素用 parent 表示当前元素指向的父节点,每个元素指向自己,都是独立的。

如果此时操作 union(4,3),将元素 4 指向元素 3:

数组也进行相应改变:

判断两个元素是否连接,只需要判断跟节点是否相同即可。

如下图,节点 4 和节点 9 的根节点都是 8,所以它们是相连的。

连接两个元素,只需要找到它们对应的根节点,使根节点相连,那它们就是相连的节点。

假设要使上图中的 6 和 4 相连,只需要把 6 的根节点 5 指向 4 的根节点 8 即可。

构建这种指向父节点的树形结构, 使用一个数组构建一棵指向父节点的树,parent[i] 表示 i 元素所指向的父节点。

...
private int[] parent;
private int count;  // 数据个数
...

查找过程, 查找元素 p 所对应的集合编号,不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点,根节点的特点 parent[p] == p,O(h) 复杂度, h 为树的高度。

...
private int find(int p){
    assert( p >= 0 && p < count );
    while( p != parent[p] )
        p = parent[p];
    return p;
}
...

合并元素 p 和元素 q 所属的集合,分别查询两个元素的根节点,使其中一个根节点指向另外一个根节点,两个集合就合并了。这个操作是 O(h) 的时间复杂度,h 为树的高度。

public void unionElements(int p, int q){
    int pRoot = find(p);
    int qRoot = find(q);
    if( pRoot == qRoot )
        return;
    parent[pRoot] = qRoot;
}

Java 实例代码

源码包下载:Download

UnionFind2.java 文件代码:

package runoob.union;
/**
 * 第二版unionFind
 */

public class UnionFind2 {
    // 我们的第二版Union-Find, 使用一个数组构建一棵指向父节点的树
    // parent[i]表示第一个元素所指向的父节点
    private int[] parent;
    private int count;  // 数据个数
    // 构造函数
    public UnionFind2(int count){
        parent = new int[count];
        this.count = count;
        // 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
        for( int i = 0 ; i < count ; i ++ )
            parent[i] = i;
    }
    // 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
    // O(h)复杂度, h为树的高度
    private int find(int p){
        assert( p >= 0 && p < count );
        // 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
        // 根节点的特点: parent[p] == p
        while( p != parent[p] )
            p = parent[p];
        return p;
    }
    // 查看元素p和元素q是否所属一个集合
    // O(h)复杂度, h为树的高度
    public boolean isConnected( int p , int q ){
        return find(p) == find(q);
    }
    // 合并元素p和元素q所属的集合
    // O(h)复杂度, h为树的高度
    public void unionElements(int p, int q){
        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);
        if( pRoot == qRoot )
            return;
        parent[pRoot] = qRoot;
    }
}